Pengertian dan Pembuktian Dalil (Teorema) Pythagoras beserta Penerapannya

Berikut ini adalah pembahasan tentang pythagoras yang meliputi pengertian dalil pythagoras, pembuktian dalil pythagoras, theorema phytagoras, teorema pythagoras, pembuktian teorema pythagoras, pembuktian teorema phytagoras, pembuktian rumus phytagoras.

Dalil Pythagoras

Seorang nakhoda kapal melihat puncak mercusuar yang berjarak 80 meter dari kapal. Jika diketahui tinggi mercusuar adalah 60 meter dari permukaan laut, dapatkah kalian menentukan jarak nakhoda dari puncak mercusuar tersebut?

Persoalan di atas dapat kita hitung dengan menggunakan prinsip segitiga siku-siku. Jika panjang dua sisi segitiga siku-siku kita ketahui, maka sisi yang lain dapat kita tentukan. Caranya adalah dengan menggunakan dalil Pythagoras.

A. Pengertian Dalil Pythagoras

Dalam dalil Phytagoras melibatkan bilangan kuadrat dan akar kuadrat dalam sebuah segitiga.

Dalil Pythagoras adalah istilah lain dari teorema pythgoras yaitu bahwa sisi miring atau sisi terpanjang pada segitiga siku - siku sama dengan jumlah kuadrat sisi - sisi lainnya.

Oleh karena itu, sebelum membahas lebih jauh dalil Pythagoras, marilah kita mengingat kembali materi kuadrat bilangan, akar kuadrat bilangan, luas daerah persegi, dan luas daerah segitiga siku-siku.

1. Kuadrat dan Akar Kuadrat Bilangan

Masih ingatkah kalian bagaimana menentukan kuadrat dari suatu bilangan?

Untuk menentukan kuadrat dari suatu bilangan adalah dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan dirinya sendiri. 

Perhatikan contoh soal berikut ini!

Kebalikan dari kuadarat suatu bilangan adalah akar kuadrat. Misalkan, bilangan p yang tak negatif diperoleh p² = 16. Maka bilangan p dapat ditentukan dengan menarik √16 menjadi p = √16. Bilangan p yang diinginkan adalah 4 karena 4² = 4 × 4 = 16. Bilangan p = 4 dinamakan akar kuadrat dari bilangan 16.

Jadi, akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan tak negatif yang apabila dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan semula. 

Perhatikan contoh soal berikut!

2. Luas Daerah Persegi

Masih ingatkah kalian cara menentukan luas bangun datar persegi?

Luas persegi dapat ditentukan dengan cara mengalikan sisi-sisinya. 

Jika sisi sebuah persegi adalah s maka luasnya dapat dituliskan sebagai berikut.

L = s × s = s2

Perhatikan Contoh Soal Berikut!

3. Luas Daerah Segitiga

Kalian tentu sudah mempelajari cara menghitung luas dan keliling segitiga. Pada pembahasan ini kalian akan mempelajari hubungan antara luas segitiga dengan luas persegi panjang.

Perhatikan gambar persegi panjang PQRS berikut!

Dari persegi panjang tersebut kita memperoleh dua buah segitiga, yaitu ΔPQR dan ΔPSR. Luas ΔPQR = luas daerah ΔPSR.

Hal ini menunjukkan bahwa:

Luas ΔPQR = ½ × luas PQRS
                    = ½ × panjang PQ × panjang QR
                    = ½ × alas × tinggi

Jadi, luas segitiga dirumuskan:

L = ½ × a × t

Keterangan:
a = alas segitiga, dan
t = tinggi segitiga

Perhatikan contoh soal berikut!

B. Pembuktian Dalil Pythagoras

Luas persegi dan segitiga yang dibahas di atas dapat digunakan untuk menenemukan dalil Pythagoras.

Untuk menemukan dalil Pythagoras lakukanlah kegiatan berikut ini!

Berdasarkan kegiatan di atas kalian akan memperoleh sifat segitiga siku-siku, yaitu pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Sifat inilah yang kemudian dikenal dengan dalil Pythagoras.

 Jadi, jika ABC adalah sembarang segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku a dan b serta panjang sisi miring c maka berlaku hubungan sebagai berikut:

c² = a² + b2

C. Penerapan Dalil Pythagoras

Dengan menggunakan dalil Pythagoras, kalian dapat menentukan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika diketahui dua sisi yang lainnya.

Selain itu, dalil ini dapat digunakan juga untuk menentukan jenis segitiga dengan membandingkan kuadrat sisi miringnya dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.

Untuk lebih jelasnya, penerapan dalil Pythagoras dapat digunakan untuk hal-hal berikut ini:

1. Menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku
2. Menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya
3. Menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga khusus
4. Menentukan panjang diagonal sisi dan diagonal ruang kubus

Penjelasan lebih lengkap untuk penerapan dalil pythagoras adalah;

1. Menghitung Panjang Salah Satu Sisi Segitiga Siku-Siku

Pada sebuah segitiga siku-siku, jika dua buah sisinya diketahui maka salah satu sisinya dapat dicari dengan menggunakan dalil Pythagoras.

Perhatikan contoh soal berikut ini!

2. Menentukan Jenis Segitiga Jika Diketahui Panjang Sisi-Sisinya

Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya. Namun demikian, sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai kebalikan dari dalil Pythagoras.

a. Kebalikan Dalil Pythagoras

Pada bahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuadrat miring (hypothenusa) atau sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya.

Dari pernyataan tersebut kita peroleh kebalikan dari dalil Pythagoras, yaitu:

• Jika kuadrat sisi miring atau sisi terpanjang sebuah segitiga sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku, atau
• Jika pada suatu segitiga berlaku a² = b² + c², maka segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan besar salah satu sudutnya 90^o.

Perhatikan contoh soal berikut!

b. Menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisisisinya

Bagaimana menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya dengan menggunakan dalil Pythagoras? Coba kalian perhatikan contoh berikut ini.

Berdasarkan contoh di atas, dapatkah kalian menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya?

Berdasarkan contoh tersebut kalian akan menemukan hubungan panjang sisi-sisi sebuah segitiga dengan jenis segitiganya. Misalkan sisi terpanjang dari segitiga tersebut adalah c dan panjang sisi yang lainnya adalah a dan b, maka berlaku hubungan sebagai berikut.

1. Jika kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisisisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. (c² = a² + b²)
2. Jika kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul. (c² > a² + b²)
3. Jika kuadrat sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip. (c² < a² + b²)

c. Tripel Pythagoras

Bilangan-bilangan 3, 4, dan 5 serta 6, 8, dan 10 merupakan bilangan-bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras, yaitu 5² = 3² + 4² dan 10² = 6² + 8².

Bilangan-bilangan tersebut dapat dipandang sebagai panjang sisi sebuah segitiga siku-siku. Bilangan-bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras seperti itu disebut tripel Pythagoras.

Jadi, tripel Pythagoras adalah bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah kuadrat bilangan yang lainnya.

3. Menghitung Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Khusus

Segitiga siku-siku merupakan segitiga yang salah satu sudutnya membentuk sudut 90^o. Bagaimana menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga yang memiliki ciri khusus seperti segitiga siku-siku, sama kaki, dan segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 30^o? Perhatikan penjelasan berikut ini!

a. Segitiga siku-siku sama kaki

Segitiga siku-siku sama kaki diperoleh dengan cara membagi sebuah persegi melalui diagonalnya menjadi dua bagian. Perhatikan persegi ABCD yang panjang sisinya a seperti pada gambar di di bawah ini! 

Jika bangun persegi tersebut dibagi dua melalui diagonal BD, maka akan diperoleh dua buah segitiga siku-siku sama kaki yaitu ΔBAD dan ΔBCD. Besar sudut ABD adalah 45^o. Jelaskan mengapa?

Dengan menggunakan dalil Pythagoras kalian dapat menentukan panjang sisi BD yang belum diketahui. Berdasarkan dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut.

      BD² = AB² + AD2

⇔ BD² = a² + a2

⇔ BD² = 2a2

⇔ BD  = √2a² = a√2

Dengan demikian kita dapat membandingkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku BAD sebagai berikut.

• AB : BD = a : a√2 = 1:√2
• AD : BD = a : a√2 = 1:√2
• AB : AD = a : a = 1 : 1
• AB : AD : BD = a : a : a√2 = 1 : 1 : √2

Perhatikan contoh soal berikut!

b. Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 30o

Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya mem bentuk sudut 30^o diperoleh dengan cara membagi sebuah segitiga sama sisi menjadi dua bagian. Perhatikan segitiga ABC di bawah ini!

Jika kita membagi dua segitiga sama sisi di atas menjadi dua bagian yang sama besar maka akan diperoleh segitiga BDC siku-siku di D dan segitiga ADC siku-siku di D. Besar ∠DBC = 60^o karena segitiga AB adalah segitiga sama sisi. Besar ∠BCD = 30^o. Jelaskan mengapa?

Dengan menggunakan dalil Pythagoras kalian dapat menentukan panjang sisi CD yang belum diketahui. Berdasarkan dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut.

BC² = BD² + CD2

⇔ CD² = BC² – BD2

⇔ CD² = (2a)² – a2

⇔ CD² = 4a² – a2

⇔ CD² = 3a2

⇔ CD = √3a2 = a√3

Dengan demikian kita dapat membandingkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku BDC sebagai berikut.

• BD : BC = a : 2a = 1 : 2
• CD : BC = a √3 : 2a = √3 : 2
• BD : CD = a : a√3 = 1 : √3
• BD : CD : BC = a : a √3 : 2a = 1 : √3 : 2

Perhatikan Contoh Soal Berikut!

4. Menentukan Panjang Diagonal Sisi dan Diagonal Ruang Kubus

Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk mencari panjang diagonal sisi atau diagonal ruang kubus dan balok. Hal ini dikarenakan diagonal sisi dan diagonal ruang merupakan sisi miring bagi sisi bidangnya.

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini!

Pada kubus ABCD.EFGH rusuk EB merupakan salah satu diagonal sisi pada kubus dan rusuk HB merupakan salah satu diagonal ruangnya. Jika panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a satuan panjang maka kita dapat menentukan panjang rusuk EB dan HB.

Untuk menentukan panjang diagonal sisi EB, perhatikan segitiga siku-siku ABE pada kubus ABCD. EFGH. Berdasarkan dalil Pythagoras diperoleh hubungan sebagai berikut.

EB² = AB² + AE2
⇔ EB² = a² + a2
⇔ EB2 = 2a2
⇔ EB = √2a² = a√2

Jadi, panjang diagonal sisi sebuah kubus yang panjang sisinya a adalah a√2 .

Untuk menentukan panjang diagonal ruang HB, perhatikan segitiga BDH yang siku-siku di D. Karena rusuk BD merupakan di agonal sisi kubus ABCD.EFGH, maka panjangnya adalah a√2.

Dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh hubungan berikut.

      HB² = DB² + DH2
⇔ HB² = (a√2 )² + a2
⇔ HB² = 2a² + a2
⇔ HB² = 3a2
⇔ HB = √3a² = a√3

Jadi, panjang diagonal ruang sebuah kubus yang panjang sisinya a satuan adalah a√3 .

Perhatikan contoh soal berikut!

Baca juga: 150 Daftar Bilangan Tripel Pythagoras

Share this post