Pemfaktoran Bentuk Aljabar Lengkap dengan Contoh Soalnya
Mei 16, 2016
Edit
Berikut ini adalah pembahasan tentang pemfaktoran bentuk aljabar yang meliputi pemfaktoran bentuk aljabar, faktorisasi bentuk aljabar, faktorisasi suku aljabar, soal pemfaktoran aljabar, cara memfaktorkan bentuk aljabar.
Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor.
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.
a. 2x2 + 8x2y
b. 12abc + 15xyz
c. 3x2y – 15xy2z
Penyelesaian:
a. 2x2 + 8x2y = 2x2 (1 + 4y) (FPB 2x2 dan 8x2y = 2x2)
b. 12abc + 15xyz = 3(4abc + 5xyz) (FPB 12abc dan 15xyz = 3)
c. 3x2y – 15xy2z = 3xy(x - 5yz) (FPB 3x2y dan 15xy2z = 3xy)
Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu:
a. Koefisien peubah pangkat dua (x2) sama dengan 1.
b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x.
Penyelesaian:
Konstanta = (½ × 8)2 = 42, maka
x2 + 8x + 16 = x2 + 8x + (4)2
= (x + 4)2
= (x + 4)(x + 4)
Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian suku-suku tersebut difaktorkan.
Penyelesaian:
x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4x + 16
= (x2 + 4x) + (4x + 16)
= x (x + 4) + 4(x + 4)
= (x + 4) (x + 4)
= (x + 4)2
Jadi faktor dari x2 + 4x + 16 adalah (x + 4)2
(x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif)
= ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif)
= x2 + xz + xy + yz
= x2 + (y + z)x + yz
Penyelesaian:
x2 + 7x + 12 = x2 + (y + z)x + yz
y + z = 7
yz = 12
y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3.
Jadi bentuk kuadrat dari x2 + 7x + 12 adalah:
(x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4)
atau
(x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).
Selanjutnya kita cari bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b/a dan jika dikalikan hasilnya sama dengan b/c.
Faktorkanlah bentuk aljabar 2x2 + 3x – 14!
Penyelesaian:
2x2 + 3x – 14 = a(x+ p/a )( x+ q/a)
Berdasarkan soal, diperoleh nilai a = 2, b = 3, dan c = –14, sehingga:
pq = ac = –28
p + q = b = 3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p = 7 dan q = –4.
Jadi,
Untuk p = –4 dan q = 7
2x2 + 3x – 14 = 2(x + –4/2 )( x + 7/2 )
= (x - 2)(2x + 7)
Untuk p = 7 dan q = -4
2x2 + 3x – 14 = 2( x + 7/2 )(x + -4/2 )
= (2x + 7)(x - 2)
Jadi faktor dari 2x2 + 3x – 14 adalah (2x + 7)(x - 2)
Baca juga: Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Pemfaktoran Bentuk Aljabar
Kalian masih ingat dengan istilah faktor suku aljabar? Bentuk aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y). Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a dan (x + y).Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor.
1. Hukum Distributif dan Faktor Persekutuan Aljabar
Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.
Perhatikan contoh berikut.
Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini!a. 2x2 + 8x2y
b. 12abc + 15xyz
c. 3x2y – 15xy2z
Penyelesaian:
a. 2x2 + 8x2y = 2x2 (1 + 4y) (FPB 2x2 dan 8x2y = 2x2)
b. 12abc + 15xyz = 3(4abc + 5xyz) (FPB 12abc dan 15xyz = 3)
c. 3x2y – 15xy2z = 3xy(x - 5yz) (FPB 3x2y dan 15xy2z = 3xy)
2 Faktorisasi Bentuk x2 + 2xy + y2
Ayo kita tinjau kembali hasil perkalian bentuk (x + y)2. Hasil perkalian dari (x + y)2 adalah x2 + 2xy + y2. Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna.Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu:
a. Koefisien peubah pangkat dua (x2) sama dengan 1.
b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x.
Perhatikan contoh berikut ini!
Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x2 + 8x + 16!Penyelesaian:
Konstanta = (½ × 8)2 = 42, maka
x2 + 8x + 16 = x2 + 8x + (4)2
= (x + 4)2
= (x + 4)(x + 4)
Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian suku-suku tersebut difaktorkan.
Perhatikan contoh berikut ini!
Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x2 + 8x + 16!Penyelesaian:
x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4x + 16
= (x2 + 4x) + (4x + 16)
= x (x + 4) + 4(x + 4)
= (x + 4) (x + 4)
= (x + 4)2
Jadi faktor dari x2 + 4x + 16 adalah (x + 4)2
3. Faktorisasi Bentuk Kuadrat ax2 + bx + c
Selain faktorisasi bentuk x2 + 2xy + y2, faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam bentuk ax2 + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x2 dan x.a. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut.(x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif)
= ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif)
= x2 + xz + xy + yz
= x2 + (y + z)x + yz
Perhatikan contoh berikut ini!
Faktorkanlah bentuk aljabar dari x2 + 7x + 12!Penyelesaian:
x2 + 7x + 12 = x2 + (y + z)x + yz
y + z = 7
yz = 12
y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3.
Jadi bentuk kuadrat dari x2 + 7x + 12 adalah:
(x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4)
atau
(x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).
b. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a ¹ 1
Kalian telah memahami bahwa pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1 adalah (x + y)(x + z). Dengan menurunkan rumus tersebut kita dapat memperoleh rumus pemfaktoran ax2 + bx + c untuk a ≠ 1. Perhatikan pemfaktoran berikut!
Selanjutnya kita cari bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b/a dan jika dikalikan hasilnya sama dengan b/c.
Faktorkanlah bentuk aljabar 2x2 + 3x – 14!
Penyelesaian:
2x2 + 3x – 14 = a(x+ p/a )( x+ q/a)
Berdasarkan soal, diperoleh nilai a = 2, b = 3, dan c = –14, sehingga:
pq = ac = –28
p + q = b = 3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p = 7 dan q = –4.
Jadi,
Untuk p = –4 dan q = 7
2x2 + 3x – 14 = 2(x + –4/2 )( x + 7/2 )
= (x - 2)(2x + 7)
Untuk p = 7 dan q = -4
2x2 + 3x – 14 = 2( x + 7/2 )(x + -4/2 )
= (2x + 7)(x - 2)
Jadi faktor dari 2x2 + 3x – 14 adalah (2x + 7)(x - 2)
Baca juga: Operasi Hitung Bentuk Aljabar